Les mathématiques : science ou non ?

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Les mathématiques : science ou non ?

Message  Auguste le Maure le Mar 27 Fév 2018 - 0:16

Bonjour,

La question se pose,  les mathématiques forment les briques fondamentales  de toutes les sciences, qu'elles soient exactes, expérimentales ou même humaines (ne serait-ce que par l'application des lois logiques connues depuis Aristote et bien avant de manière intuitive), cependant est-ce que ces mathématiques dont l'inexistence rendrait stérile les sciences et indicible le monde réel  peuvent-ils ne pas être "une science " ?
le premier obstacle qui pointe le bout de son nez dans la conception scientifique des mathématiques c'est l'objet de l'étude mathématique. si on arrive plus ou moins facilement à dire que la biologie étudie le vivant ou la physique les mécanismes du réel sensible il n'en va pas de même des mathématiques. évidemment ces champs d'études ne sont pas clair, les termes "vivant" et "mécanismes du réel" sont très confus et nécessiterait plus de développement, ce qui serait ici quelque peu hors propos, mais a minima on sait de manière intuitive que ces choses là on des "objets d'études" ou champs d'investigation qu'on arrive a cerner même si c'est de manière confuse et floue.
cependant pour les mathématiques on ne sait tout simplement pas de quoi ça parle ! De nombres ? des figures géométriques ? et même en répondant : un peu de toutes ces choses. le nombre n'est pas au même niveau d'intuition que le monde réel ou le vivant.
la question de ce qu'est un nombre est loin d'être chose donnée.

Ensuite, il y'a le problème de la méthode, les mathématiques traitent de sa propre méthode.
Les lois du syllogisme de la déduction et en général des lois logiques peuvent être traité à l'intérieur de notre "science".
ce qui est assez particulier, la physique ne traite (de ce que je sais) pas de la définition de la notion expérimentation, ce n'est pas son objet.

J'imagine qu'on peut aisément résoudre ces "problèmes" en considérant que les mathématiques ne forment pas une science.
cependant on peut quand même lui donner un objet ! Les mathématiques sont le langage qui traite des langages parlant du monde.
je m'explique, la physique est un "langage (lire ici langage extension de science)" qui code le réel. le mathématiques est ainsi vu comme un "langage du second degré".
Prenons par exemple les nombres.
Image de Russel. "3 sheeps is an instance of 3, 3 is an instance of numbers, but 3 sheeps isn't an instance of numbers"
"trois moutons" est un exemple du nombre 3, et 3 est un exemple de nombre, mais trois moutons n'est pas un exemple de nombre.
les nombre sont donc une abstraction  du second degré, 2 est une abstraction des paires, 3 une abstractions des triplets , n une abstractions des n-uplets (pour les plus matheux), mais la notion de nombre est une abstraction de tout ces 1, 2,3... donc le nombre est une abstraction d'une abstraction de choses réelles.
Ainsi "les objets" des mathématiques sont les phrases avec lesquelles on décrit le monde. .
même chose pour la géométrie, le monde palpable est un (exemple/modèle) d'espace géométrique, et l'étude de ces espaces géométriques est l'étude du langage décrivant le réel.
et donc les mathématiques à ce stade là ne décrivent clairement pas le réel.  aucun nombre,point, espace n'a d'existence réelle extra-linguistique (sauf si on admet l'existence d'un monde des idées, ce que je ne fais pas cf :Vérité et langage.)
Remarque amusante : la logique peut-être vu comme la mathématique des mathématiques, dans le sens où elle traite de du langage des mathématiques, sans oublier le langage qui étudie la logique, la logique de la logique ...

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Re: Les mathématiques : science ou non ?

Message  AntiSubjectiviste le Mer 28 Fév 2018 - 19:31

Tout dépend évidemment de comment on définit une science. Mais au-delà de cette question terminologique relativement stérile, on peut en tout cas dire que si les maths sont une science, elles restent uniques en leur genre et différent radicalement des autres sciences tant par leur objet que par leur méthode. Cela dit une autre science peut, à des moments de son développement, passer par des phases plus mathématiques, en particulier la physique.

Par ailleurs, je ne mettrais pas de frontière nette entre logique et mathématiques, les outils de la logique étant, aujourd'hui, essentiellement mathématiques.

Personnellement, ma position est que les maths ont pour objets global les structures formelles, c'est-à-dire les réseaux conceptuels de relations, entre autre susceptibles d'être utilisés pour modéliser divers phénomènes. En cela, pourquoi ne pas dire qu'elles sont bien une science ?

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Re: Les mathématiques : science ou non ?

Message  Mal' le Mer 28 Fév 2018 - 22:07

AntiSubjectiviste a écrit:Personnellement, ma position est que les maths ont pour objets global les structures formelles, c'est-à-dire les réseaux conceptuels de relations,
Tu veux dire au fond, qu'on a affaire à un relationnisme qui, "stérilement", revient à un relativisme ? En quoi est-ce une science plutôt qu'un instrument ?
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Re: Les mathématiques : science ou non ?

Message  AntiSubjectiviste le Mer 28 Fév 2018 - 22:46

Je n'ai pas compris ce que tu penses que j'ai voulu dire, et je crois que ce n'est pas ce que j'ai voulu dire.

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Re: Les mathématiques : science ou non ?

Message  Mal' le Mer 28 Fév 2018 - 23:01

L'objet dont tu parles préexiste-t-il aux mathématiques, ou bien le sont-elles - les structures formelles, les réseaux conceptuels de relations ?
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Re: Les mathématiques : science ou non ?

Message  AntiSubjectiviste le Mer 28 Fév 2018 - 23:39

Ce que j'ai dit des objets mathématiques est indépendant d'une prise de position au sujet de leur préexistence.

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Re: Les mathématiques : science ou non ?

Message  Mal' le Jeu 1 Mar 2018 - 10:24

AntiSubjectiviste a écrit:Personnellement, ma position est que les maths ont pour objets global les structures formelles, c'est-à-dire les réseaux conceptuels de relations,
Si la mathématique a pour objet ces structures/réseaux, le mathématicien traite-t-il avec en en inventant le langage (mathématique, à ces structures/réseaux) ou bien la mathématique est elle-même ces structures/réseaux comme langage ?

Je te pose ces questions pour que nous puissions quitter notre mésentente initiale. Il faut vouloir s'entendre, c'est le principe. Tu vois bien que ces questions sont cruciales, à commencer par être raccords avec le propos d'Auguste le Maure. N'ostracise pas.
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Re: Les mathématiques : science ou non ?

Message  Shub (Axolotl) le Jeu 1 Mar 2018 - 14:08

Dans votre introduction vous posez plusieurs questions qui sont autant de problèmes subséquents.

Vous vous placez en premier je pense dans un cadre épistémologique: qu’est-ce qui permet de définir les maths comme science, et ensuite une question « ontologique » sur le media qu’elle utilise principalement, à savoir le langage mathématique. En découle la question de savoir si le langage mathématique est un langage comme les autres. De quelle nature est-il ou serait-il, avec comme conséquence quelles seraient sa ou ses spécificités pour le définir et le distinguer des autres ?

Cette démarche semble reprendre une sorte de progression kantienne (pour ce que j’en connais) du pur (ou du formel encore que le pur et le formel soient différents) en direction ou vers le pratique (ou l’empirique, même remarque): du pur soit des fondements lesquels seraient quasiment ontologiques, vers l’expérimental et le pratique, avec à la clé l’analyse de sa praxis et des moyens mis en œuvre pour « effectuer » ou accomplir des mathématiques. L’acte mathématique a de toute évidence besoin d’un langage particulier et unique mais intelligible par tous (sa grande force!) pour s’exprimer: il est son langage et semble bien lui appartenir en propre. La meilleure preuve est que sans avoir fait des maths on reconnaît tout de suite -ou assez vite quand on en voit- qu’il s’agit bien d’un langage dit « mathématique ». Et non d’un autre type de langage. Indéniable avantage: c'est un langage universel, parlé de Hawaï à la Terre de Feu en passant par l'Arctique.

Vous dites « la logique peut-être vu comme la mathématique des mathématiques, dans le sens où elle traite de du langage des mathématiques, sans oublier le langage qui étudie la logique, la logique de la logique ».

Je ne me sens pas qualifié de parler des rapports de Kant avec la métaphysique et les sciences, précisément mais il y aurait matière ici lorsque vous parlez de logique. Je pense que Kant avait très bien compris qu’il existait 2 types de logique, une que l’on pourrait qualifier de comportementale et propre à nos besoins d’êtres humains dotés de langage. Et l’autre complètement scientifique, et qui sert de vecteur pour la science afin de parler et d’énoncer des « vérités scientifiques ». Deux domaines épistémiques et d’application très différents. Kant regroupera  en 2 parties, logique pure et transcendantale sous un volume de « logique métaphysique », demeurant je crois encore aujourd’hui une partie assez discutée par les philosophes .  Le terme de logique scientifique -et en particulier mathématique- que vous employez à propos des maths a quant à lui a une longue et même très longue histoire, depuis l’invention du tiers exclu par Aristote.

Si vous dites qu'on peut considérer que les mathématiques ne forment pas une science vous prenez là un risque , même un très gros risque! Si je puis vous donner un conseil, ne répétez SURTOUT pas cette phrase devant des mathématiciens: vous risqueriez un procès en Inquisition pour sorcellerie et hérésie notoire ! Non je plaisante, mais quelque part il y a du vrai. Certains estiment que la science (LaScience pour paraphraser le LaLangue de Lacan) tend à devenir une religion avec ses propres tribunaux, ses condamnations, ses hérésies, ses bannissements, etc. Vu du côté des philosophes et d’une partie du public, certains estiment que la science sans la philosophie n’aurait pas d’éthique: elle en serait privée fatalement et  tout ce qui serait de l’ordre d’une considération morale ou éthique lui demeurerait forcément étrangère et inconnue. Qui peut trancher ? À l’inverse de ce qui peut se passer en philo où il n’y a pas de communauté philosophique à proprement parler, il y a bien une communauté scientifique: une sorte de tribunal suprême fonctionnant à partir du consensuel et qui a pour rôle d’amener à définir ce que serait une vérité objective dans une science considérée. Afin d’estimer au passage qu’une théorie, une découverte ou une loi par exemple est valide, scientifique ou au contraire invalide, dépassée, fausse, non scientifique etc.

Et dans un monde qui tend à devenir de + en + incertain et où la politique ne représente + du tout ce qu’elle a été pendant le siècle dernier -c’est-a-dire un espoir de changement qui serait synonyme d’améliorations de nos conditions de vie-, la science tend à se substituer à la fois à la religion et à la politique pour finir par s’imposer tel un diktat dans les esprits -sinon l’inconscient collectif- comme seul et unique facteur de progrès: il ne reste plus que nous, pourrait dire la science et les scientifiques à sa suite. Plus que nous en qui vous pouvez croire et placer votre confiance ! Nous sommes et ne sommes plus que les seuls -voire les derniers- à pouvoir apporter une amélioration à vos conditions de vie maintenant que la politique et la religion ont ostensiblement échoué !
Pour revenir à la logique, il n’y a pas une seule logique en math celle d’Aristote, mais des tas. Je vous donne des liens si ça peut vous intéresser.

1) Logique classique du 1er ordre : Logique classique
2) Logique intuitionniste : Logique intuitionniste
3) Logique(s) floue(s) : Logique floue
4) Logiques modales : Logique modale
5) Logique quantique : Logique quantique

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Re: Les mathématiques : science ou non ?

Message  AntiSubjectiviste le Ven 2 Mar 2018 - 12:22

Mal' a écrit:Si la mathématique a pour objet ces structures/réseaux, le mathématicien traite-t-il avec en en inventant le langage (mathématique, à ces structures/réseaux) ou bien la mathématique est elle-même ces structures/réseaux comme langage ?
Demandé comme ça, en considérant que les mathématiques sont une activité humaine, j'opte pour la première option (la seconde n'ayant pas vraiment de sens en ces termes).

Maintenant si l'on parle de ce que produisent les mathématiciens, à savoir les théories mathématiques, chacune étant un système axiomatico-déductif portant sur des objets conceptuels spécifiques (en fait, des structures), alors je dirais globalement que les théories mathématiques ont une double nature :

  1. elles sont un langage pour "décrire" des structures (la théorie des nombres naturels décrit la structure des... nombres naturels),

  2. les énoncés qu'elles contiennent (axiomes, théorèmes) sont liés déductivement entre eux de façon à former eux-mêmes une structure; cette dernière est par ailleurs l'objet décrit par d'autres théories mathématiques. (Par exemple, les énoncés de la théorie des nombres naturels forment une algèbre booléenne, celle-ci étant une structure étudiée par la théorie des... algèbres booléennes. On a donc des théories qui étudient la structure des énoncés d'une autre théorie.)
On voit donc que les mathématiques, comme la philosophie d'ailleurs, a cette capacité à étudier des objets en même temps qu'elle peut prendre ses propres modes de descriptions comme objet d'étude. Autrement dit, elles sont épistémiquement réflexives.

Une conséquence est qu'en mathématiques, il n'y a pas de distinction absolue de nature entre un objet d'étude et un langage descriptif : tout langage descriptif peut lui-même être l'objet d'étude d'une autre théorie. Cette frontière brouillée rend difficile, par exemple, une défense rigoureuse du platonisme qui suppose une dichotomie entre objet-représenté et langage-représentant : en effet, l'idée réaliste usuelle qu'un objet préexiste à sa description et que le langage est créé par le sujet, ne tient plus.

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Re: Les mathématiques : science ou non ?

Message  Mal' le Ven 2 Mar 2018 - 15:32

Tu es clair AntiSubjectiviste, mais tout se passe comme si tu prenais un malin plaisir à ne pas être aidant, autocentré dans la démarche, ce qui est plutôt cocasse - même sans malin plaisir, l'autocentrisme dans la démarche demeure. Je m'en contenterai, écoute.
AntiSubjectiviste a écrit:
Mal' a écrit:Si la mathématique a pour objet ces structures/réseaux, le mathématicien traite-t-il avec en en inventant le langage (mathématique, à ces structures/réseaux) ou bien la mathématique est elle-même ces structures/réseaux comme langage ?
Demandé comme ça, en considérant que les mathématiques sont une activité humaine, j'opte pour la première option (la seconde n'ayant pas vraiment de sens en ces termes).
Dans le premier cas, nous trouverions des structures/réseaux hors-soi, qu'on chercherait à formuler, et pour lesquelles on aurait inventé la mathématique. Dans le second cas, nous sentirions ces structures/réseaux depuis-soi, qu'on formulerait mathématiquement, où la mathématique servirait nos trouvailles heureusement applicables. Dans les deux cas, il y a conception, mais le premier découvre dans les choses tandis que le second projette sur les choses. A ce que je sais ou crois savoir, c'est un vieux débat métamathématique, que tu dois penser pouvoir régler ainsi :
AntiSubjectiviste a écrit:Maintenant si l'on parle de ce que produisent les mathématiciens, à savoir les théories mathématiques, chacune étant un système axiomatico-déductif portant sur des objets conceptuels spécifiques (en fait, des structures), alors je dirais globalement que les théories mathématiques ont une double nature :

  1. elles sont un langage pour "décrire" des structures (la théorie des nombres naturels décrit la structure des... nombres naturels),

  2. les énoncés qu'elles contiennent (axiomes, théorèmes) sont liés déductivement entre eux de façon à former eux-mêmes une structure; cette dernière est par ailleurs l'objet décrit par d'autres théories mathématiques. (Par exemple, les énoncés de la théorie des nombres naturels forment une algèbre booléenne, celle-ci étant une structure étudiée par la théorie des... algèbres booléennes. On a donc des théories qui étudient la structure des énoncés d'une autre théorie.)
On voit donc que les mathématiques, comme la philosophie d'ailleurs, a cette capacité à étudier des objets en même temps qu'elle peut prendre ses propres modes de descriptions comme objet d'étude. Autrement dit, elles sont épistémiquement réflexives.

Une conséquence est qu'en mathématiques, il n'y a pas de distinction absolue de nature entre un objet d'étude et un langage descriptif : tout langage descriptif peut lui-même être l'objet d'étude d'une autre théorie. Cette frontière brouillée rend difficile, par exemple, une défense rigoureuse du platonisme qui suppose une dichotomie entre objet-représenté et langage-représentant : en effet, l'idée réaliste usuelle qu'un objet préexiste à sa description et que le langage est créé par le sujet, ne tient plus.
On comprend bien, conséquemment, que tu n'es pas gödelien, et que tu n'as pas cherché à faire signifier mon second cas de figure. Seulement, ton premier point concorde avec mon second cas, tandis que ton second point concorde avec mon premier cas.
Mais la question de différencier science et instrument demeure, quand même tu nous les mets bout-à-bout, à la queue-leu-leu et en ronde voire en spirale, puisqu'on peut spéculativement mettre en abyme le jeu objet représenté-langage représentant.

Hélas, tu nous fais tourner en bourrique, et pourquoi cela ? ... Parce que, d'une part, tu préfères ne pas bien me comprendre en renvoyant à des référents solides, depuis lesquels tu peux dire "ça n'a pas de sens", etc. et d'autre part, tu n'hésites pas à supprimer toute présence de référent solide, pour mettre en abyme objet représenté-langage représentant - en l'occurrence. Or, le problème posé par Auguste le Maure, et qui te semble si aisément balayable, n'en est du coup absolument pas balayé.

Il faut savoir : soit il y a un référent solide, soit il n'y en a pas - or, s'il n'y en a pas, tu tombes sous le coup de ce que tu appelles "relativisme" (le relativisme de droit commun). D'un côté, l'intervenant de ce forum Crosswind jugerait que tu es dans un réalisme naïf, mais il te ferait comme moi remarquer la décohérence avec le "relativisme" ensuite.
C'est que tu es dans un opportunisme épistémique, s'inscrivant entièrement dans le cadre du relativisme feyerabendien (et non pas ton "relativisme" de droit commun).
Paul Feyerabend nous apprend que, d'une manière ou d'une autre, et contrairement au distinguo lévi-straussien entre prélogique et logique, bricolage conceptuel et science conçue, il n'y a pas d'écart (sans parler de ce que l'Histoire des sciences ruine la pureté alléguée aux sciences, la lascience, comme vient de dire Axolotl sur la base de Jacques Lacan, la lascience est issue de Karl Popper, dont Feyerabend fut d'ailleurs l'élève avant de le dépasser).

A partir de là, je t'ai dit opportuniste parce que tu oscilles entre deux conceptions, comme une particule quantique entre deux trajectoires. Pourquoi pas ? Il faudrait pourtant en prendre la mesure, c'est-à-dire réaliser la décohérence dans la démarche intellectuelle.
Et finalement, tu me rassérénerais de reconnaître cet opportunisme, que tu voudras peut-être - selon, et sans que cela ne me dérange - nommer un pragmatisme comme l'intervenant Ragnar répétait incessamment, où n'est vrai que ce qui fonctionne à l'instant I au lieu L, soit donc qui permet toutes les oscillations conceptuelles.
Je suis sûr, par ailleurs, que Crosswind en serait aussi heureux ; seulement, tu n'accordes rien ou pas grand'chose, il faut s'en contenter.

Axolotl, je reviendrai peut-être sur ton propos.
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Re: Les mathématiques : science ou non ?

Message  AntiSubjectiviste le Ven 2 Mar 2018 - 16:50

Mal' a écrit:Mais la question de différencier science et instrument demeure, quand même tu nous les mets bout-à-bout, à la queue-leu-leu et en ronde voire en spirale, puisqu'on peut spéculativement mettre en abyme le jeu objet représenté-langage représentant
Ma position est que cette dichotomie science/instrument est trop simpliste pour s'appliquer aux maths. Elles sont une science parce qu'elles ont un objet d'étude global (les structures formelles), mais elles sont aussi un instrument pour d'autres disciplines (voire pour elles-mêmes) car le caractère formel des structures les prédispose à leur utilisation pour modéliser/interpréter divers phénomènes.

Alors, science ou instrument ? Certainement les deux. Comme le montrent l'histoire, ainsi que l'épistémologie des maths.

Mal' a écrit:tu préfères ne pas bien me comprendre
Tu te focalises trop sur ma personne et mes désirs sournois secrets que tu supputes, au détriment de mes propos. Réflexe de psy ? *Cheers*

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Re: Les mathématiques : science ou non ?

Message  Mal' le Ven 2 Mar 2018 - 17:23

AntiSubjectiviste a écrit:Tu te focalises trop sur ma personne et mes désirs sournois secrets que tu supputes, au détriment de mes propos. Réflexe de psy ?
*Lol* ... de psy, ou tout simplement de défiance expériencielle devant tel profil qu'au pire je projette inconsidérément sur tes interventions (pour le dire à la psy). Or, tu balances cela - de bonne guerre, après tout ce que je te charrie - au moment où je dis que je me contenterai de ce que tu donnes, au lieu de chercher autre chose. *Cela n'est assurément pas pour calmer ma - au pire - projection inconsidérée ! *Lol* ... Bref, contentons-nous-en.
Ma position est que cette dichotomie science/instrument est trop simpliste pour s'appliquer aux maths. Elles sont une science parce qu'elles ont un objet d'étude global (les structures formelles), mais elles sont aussi un instrument pour d'autres disciplines (voire pour elles-mêmes) car le caractère formel des structures les prédispose à leur utilisation pour modéliser/interpréter divers phénomènes.

Alors, science ou instrument ? Certainement les deux. Comme le montrent l'histoire, ainsi que l'épistémologie des maths.
Tu évoques l'histoire, puisque je l'évoquais aussi, avec Paul Feyerabend, c'est une réponse en biseau*. Et comme toi, je vois que la mathématique est un instrument pour d'autres disciplines, là-dessus d'aucuns reviendraient difficilement - et c'est un euphémisme. Néanmoins, sur les structures formelles dont la mathématique serait la science, c'était justement l'enjeu de ma première intervention et de mon complément précédent, auquel tu ne réponds pas*. C'est-à-dire que ces structures formelles, sont-elles hors-soi ou depuis-soi (soi-mathématicien) ? Les trouve-t-on donc "dans la nature" ou bien les y "projette-t-on", quand même ça fonctionne admirablement bien, au point de les croire "dans la nature" ? ...

A vrai dire, si nous les y "projetons" (projetons nos logiques, comme au pire je projette tel profil de personnalité dont je me défie sur ce que j'interprète dans tes interventions, peut-être maladroitement - maladresse assumée) le langage mathématique s'identifie à nos projections, auxquelles nous trouvons des formules. Par contre, si nous les trouvons "dans la nature" (nos logiques) alors nos formules ne s'y identifient pas, de même que tout autre langage. Et, dans le cas de "projections", il ne saurait s'agir d'une science, car par trop inné-intuitif ; tandis qu'en cas de "dans la nature", sans conteste, il s'agit d'une science - à moins que nous fassions une science de l'inné-intuitif des structures formelles dont nous "héritons" intrinsèquement et dont nous nous servons pour les décrire, récursivement et comme par un un dédoublement ivrogne de la vue ? Est-ce cela ? (Où pourtant ces projections, de même que la projection d'un profil de personnalité par moi sur toi, sert une forme de connaissance, même imparfaite : sauf cas de délires graves, rien ne vient sans accointance avec rien, cette accointance serait-elle biaisée. Bref, de l'erreur comme errance, naît la connaissance, c'est ainsi que cela tourne.)

Enfin, tu ne résouts pas la question de la décohérence intellectuelle/du réalisme naïf/du "relativisme" de droit commun/de l'opportunisme/du pragmatisme*.
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Re: Les mathématiques : science ou non ?

Message  AntiSubjectiviste le Ven 2 Mar 2018 - 17:57

Mal' a écrit:Les trouve-t-on donc "dans la nature" ou bien les y "projette-t-on"
Comme je ne suis pas réaliste vis-à-vis des maths, ma position personnelle est celle-ci : les objets mathématiques sont nos créations conceptuello-linguistiques et nous les projetons sur le monde (même si le terme "projection" ne me convient guère, je parle plutôt d'"interprétation", mais c'est une autre question).

Ce qui n'implique pas que les vérités mathématiques cessent d'être absolument valides. (À détailler, toutefois.)

Il faut juste ne pas penser que ça marche toujours dans un seul sens, du concept vers la réalité empirique : l'histoire montre que bien souvent, la réalité empirique nous inspire à formaliser des concepts mathématiques. Le va-et-vient entre concept, langage et réalité empirique est constant et inorganisé.

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Re: Les mathématiques : science ou non ?

Message  Shub (Axolotl) le Ven 2 Mar 2018 - 18:44

J'ai du mal à rentrer dans une discussion proprement philosophique pour cause de manque de formation à cet égard. Mais...
AntiSubjectiviste a écrit:
Mal' a écrit:Les trouve-t-on donc "dans la nature" ou bien les y "projette-t-on"
Comme je ne suis pas réaliste vis-à-vis des maths, ma position personnelle est celle-ci : les objets mathématiques sont nos créations conceptuello-linguistiques et nous les projetons sur le monde (même si le terme "projection" ne me convient guère, je parle plutôt d'"interprétation", mais c'est une autre question).

Ce qui n'implique pas que les vérités mathématiques cessent d'être absolument valides. (À détailler, toutefois.)

La question de la validité telle qu'elle se pose est la suivante: une "vérité mathématique" avant qu'on lui attribue ce terme la qualifiant de "vraie" pour vraiment l'authentifier comme telle doit obtenir le consensus de la communauté scientifique, donc de la communauté mathématique dans le cas qui nous préoccupe. SI elle l'obtient elle deviendra non plus une hypothèse mais une "vérité objective". Mais c'est quoi une "vérité objective" ? C'est ce qui sera écrit pour être publié, qu'on retrouvera dans les livres et qui sera enseigné, soit aux lycéens, étudiants, livre dont les chercheurs se serviront  comme ouvrage de référence.
Une "vérité mathématique" ne reçoit pas automatiquement le qualificatif de valide: tout dépend de ce qu'on entend par vérité mathématique. Un axiome n'est ni vrai, ni valide pourtant on pourrait le qualifier de "vérité mathématique": un axiome c'est un axiome à partir duquel on construira une ou des mathématiques, et on inventera des théorèmes qui en seront issus mais ils doivent être impérativement démontrés par les règles de la logique pour être "valides" ou validés.
Par contre une démonstration doit être impérativement être validée pour être admis (c-a-d que les autres mathématiciens reconnaissent une démonstration dans laquelle il n'y a pas d'erreur) mais un théorème peut être valide sans avoir été démontré. Exemple: le théorème de Fermat.
Ce mathématicien a écrit un théorème très important en algèbre et il a marqué dans la marge de son livre "je donnerai la démonstration plus tard". Or on n'a jamais retrouvé cette démonstration, des siècles après on cherche encore. Pourtant on sait que ce théorème est valide, au sens où l'on n'a jamais pu trouver de contre-exemple pour l'infirmer.

Voilà. J'espère avoir été clair. Et pu vous aider.
Je vous recommande pour les maths un livre déjà ancien qui s'appelle "Idéalités mathématiques" de Desanti (68). La question qu'il se pose et nous pose est "quel est ce lieu où résident les mathématiques?". Il s'agira d'une approche strictement formaliste des maths, non platonicienne et Desanti essaiera de dégager des "idéalités" et des "objets" lesquels sont immanents au langage et à la pratique des maths. Gödel et la mathématicien français réputé Alain Connes étaient ou sont platoniciens. Mais la majorité des mathématiciens croient au formalisme et uniquement à cela. La question d'une Essence du nombre naturel puis rationnel, irrationnel, transcendant, imaginaires et tous les autres qui ont suivi ne se pose pas pour eux.
Pour paraphraser Leibniz qui disait que la pensée c'est du calcul sur des symboles, les formalistes estiment que les maths c'est du calcul sur des symboles, ou sur des signes si l'on veut. On ne cherche pas d'Essence ou d'Idées derrière une représentation. A la limite la représentation qu'est le signe ou symbole mathématique serait sa propre essence, ou coïnciderait avec elle si on envisageait une Essence derrière, ce que refusent par principe les formalistes. Rien de plus.

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Re: Les mathématiques : science ou non ?

Message  AntiSubjectiviste le Ven 2 Mar 2018 - 20:49

Axolotl a écrit:La question de la validité telle qu'elle se pose est la suivante: une "vérité mathématique" avant qu'on lui attribue ce terme la qualifiant de "vraie" pour vraiment l'authentifier comme telle doit obtenir le consensus de la communauté scientifique, donc de la communauté mathématique dans le cas qui nous préoccupe.
Il y a une différence entre être une vérité, et être reconnu comme une vérité. S'il faut la reconnaissance communautaire pour le second, il n'en faut pas pour le premier : on acceptera ainsi qu'un énoncé mathématique donné est, indépendamment de la communauté, soit vrai, soit faux, soit indécidable.

Axolotl a écrit:SI elle l'obtient elle deviendra non plus une hypothèse mais une "vérité objective". Mais c'est quoi une "vérité objective" ? C'est ce qui sera écrit pour être publié, qu'on retrouvera dans les livres et qui sera enseigné, soit aux lycéens, étudiants, livre dont les chercheurs se serviront  comme ouvrage de référence.
Cette définition sociale de l'objectivité ne convient guère aux mathématiques; je dirais plutôt qu'un énoncé est une vérité objective si, une fois les significations de ses termes explicités, sa vérité s'impose inconditionnellement.

Axolotl a écrit:Une "vérité mathématique" ne reçoit pas automatiquement le qualificatif de valide: tout dépend de ce qu'on entend par vérité mathématique.
Bien sûr et, en mathématiques, pour un énoncé donné, "être vrai" est essentiellement synonyme de "être démontrable dans le système axiomatique qui le contient". En ces termes, un axiome est strictement vrai dans son système.

Axolotl a écrit:mais un théorème peut être valide sans avoir été démontré. Exemple: le théorème de Fermat.
Ce mathématicien a écrit un théorème très important en algèbre et il a marqué dans la marge de son livre "je donnerai la démonstration plus tard". Or on n'a jamais retrouvé cette démonstration, des siècles après on cherche encore. Pourtant on sait que ce théorème est valide, au sens où l'on n'a jamais pu trouver de contre-exemple pour l'infirmer.
OK, mais c'est là utiliser le mot "valide" dans un sens détourné. Peu de mathématiciens diraient qu'une conjecture non réfutée est "valide", il dira juste que c'est une conjecture. PS : le théorème de Fermat a été démontré par Wiles en 1994, il a donc été reconnu comme vrai. Avant cette date, il était toujours une conjecture (en fait vraie, mais on ne le savait pas encore).

Axolotl a écrit:Mais la majorité des mathématiciens croient au formalisme et uniquement à cela.
J'en doute fort. La majorité des mathématiciens ignorent ce qu'est le formalisme et ne s'intéressent pas vraiment aux questions d'épistémologie des maths. Je dirais plutôt que la majorité des mathématiciens "au travail" ont une posture réaliste naïve : ils traitent les objets mathématiques comme préexistants (au sens naïf), les théories comme leur description et les démonstrations comme des instruments déductifs permettant d'"observer" des faits mathématiques.

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Re: Les mathématiques : science ou non ?

Message  Shub (Axolotl) le Sam 3 Mar 2018 - 13:34

Je n’ai pas de formation en philo suffisante pour pourvoir débattre au niveau conceptuel de façon intéressante pour vous et pour les gens ici. Par contre je peux essayer de préciser certaines choses.
Qu’est que cette idée de consensus qui mène (ou non) à une « vérité objective » dans les maths? Pb ou question similaire dans les autres sciences exactes, physique, biologie…  Pour cela je prends deux postulats:
— Un énoncé scientifique et qui fera consensus dans une communauté scientifique donnée (donc forcément internationale) sera celui qui sera formulé comme une définition car il est établi après discussions que c’est une vérité objective.
— Une vérité objective dans les sciences c’est (ou cela le devient dans le cas de la question « 1 est-il un nombre premier ? ») une définition qui sera publiée et éditée pour être enseignée aux collégiens puis étudiants. Sans compter sa publication ultérieure dans divers endroits institutionnels comme les Académies des Sciences, donc officialisée. Elle servira de référence aux chercheurs pour leurs travaux et recherches et toutes les démonstrations de nouveaux théorèmes qu’ils proposeront devront impérativement en tenir compte. Ceux-ci devront être cohérents avec cette nouvelle définition. Ce fut l’occasion d’expliquer que les définitions ne doivent pas seulement être correctes, mais qu’elles doivent en outre être choisies afin de rendre les énoncés des théorèmes importants aussi simples que possible.

Pour cela je vais reprendre une controverse avec un grand mathématicien au sujet des nombres premiers, avec la question « 1 est-il un nombre premier ? » qui a fait l’objet de polémiques parfois acharnées chez mes mathématiciens avant qu’ils se décident (par consensus) que 1 n’était pas un nombre premier.
La phrase "1 est un nombre premier" n'est plus -bien qu'ayant été longtemps-  une partie d'une définition des nombres premiers avant 1899. Une définition est par nature conventionnelle. Ce n'est une vérité ni objective ni consensuelle.
Le dernier mathématicien professionnel à publier « 1 » en tant que nombre premier fut Henri Lebesgue en 1899.
Et suite à des discussions on a finit par adopter le modèle allemand : http://images.math.cnrs.fr/Pourquoi-...e-premier.html
La graphie « 1 » n'est pas la seule utilisée dans le monde ; un certain nombre d'alphabets — particulièrement ceux des langues du sous-continent indien et du sud-est asiatique — utilisent des graphies différentes. Le 0 a été amené par la civilisation arabe et a donné le substantif chiffre (ṣĭfr soit le vide), mais proviendrait avant d'Inde selon certaines sources.
Amharique ፩ Arabe ۱ Bengalî ১ Birman ၁ Devanāgarī १ Gujarati ૧ Gurmukhî ੧ Kannara ೧ Khmer ໑ Arabe 1  Malayalam ൧ Oriya ୧ Tamoul ௧ Télougou ౧ Thaï ๑ Tibétain ༡

Objet de la discussion et de la controverse qui en découle:
Point de départ de la définition du nombre premier avant 1899, jusqu’à Henri Lebesgue compris:  Un nombre naturel est premier s’il n’est divisible que par 1 et par lui-même.  
Point d’arrivée en 1899 jusqu’à aujourd’hui: « 1 » n'est pas actuellement considéré comme un nombre premier, bien qu'il soit parfois utilisé en tant que tel, à cause de l'erreur courante concernant la définition de la primalité : ce n'est pas « lorsque le nombre est divisible seulement par un et lui-même » mais bien « lorsque le nombre a deux diviseurs distincts, un et lui-même », ce qui permet d'exclure le nombre un, qui n'a qu'un diviseur.

Sans vouloir compliquer les choses (on n’imagine pas qu’une définition aussi simple apparemment entraine des complications!) l’objection première qui vient tout de suite est : Si 1 n’est pas un nombre premier, c’est donc un nombre composé. Il y a contradiction. S’il n’est pas premier cela veut dire qu’il s’exprime sous le produit de plusieurs diviseurs, 2 au moins.
Tout le monde sait qu’il existe une dichotomie complète à l'intérieur de l'ensemble des entiers naturels entre ceux qui sont premiers et ceux qui admettent au moins 2 diviseurs.

La réponse est ou paraitra paradoxale:
Oui,1 est bien composé : il se décompose en le produit d’un nombre nul (!) de  nombres premiers ! Reste à comprendre le fait un peu paradoxal que si on multiplie 0 nombres premiers, on obtient 1. Je ne donne pas la démonstration qui est trop abstraite.
De même qu’un nombre quelconque à la puissance 0 donne 1, résultat surprenant que nous avons tous appris en analyse à l’école et qui en a étonné plus d’un. On déduit cela en passant par les logarithmes ! Le logarithme du nombre 1 quelle que soit la base considérée est toujours égal à 0.

Antisubjectiviste a écrit:OK, mais c'est là utiliser le mot "valide" dans un sens détourné. Peu de mathématiciens diraient qu'une conjecture non réfutée est "valide", il dira juste que c'est une conjecture. PS : le théorème de Fermat a été démontré par Wiles en 1994, il a donc été reconnu comme vrai. Avant cette date, il était toujours une conjecture (en fait vraie, mais on ne le savait pas encore).
Je crois (mais c’est juste du ouï-dire ) que cette démonstration de Wiles a ses partisans et détracteurs. Fort longue et compliquée, faisant appel à différentes notions toutes plus abstraites les unes que les autres des maths elle comporterait en son sein des conjectures elle-aussi. A vérifier.

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Re: Les mathématiques : science ou non ?

Message  AntiSubjectiviste le Dim 4 Mar 2018 - 1:15

Axolotl a écrit:Sans vouloir compliquer les choses (on n’imagine pas qu’une définition aussi simple apparemment entraine des complications!) l’objection première qui vient tout de suite est : Si 1 n’est pas un nombre premier, c’est donc un nombre composé. Il y a contradiction. S’il n’est pas premier cela veut dire qu’il s’exprime sous le produit de plusieurs diviseurs, 2 au moins.
Tout le monde sait qu’il existe une dichotomie complète à l'intérieur de l'ensemble des entiers naturels entre ceux qui sont premiers et ceux qui admettent au moins 2 diviseurs.

La réponse est ou paraitra paradoxale:
Oui,1 est bien composé : il se décompose en le produit d’un nombre nul (!) de  nombres premiers ! Reste à comprendre le fait un peu paradoxal que si on multiplie 0 nombres premiers, on obtient 1. Je ne donne pas la démonstration qui est trop abstraite.
Tu vas un peu vite en besogne, il me semble. La question "1 est-il premier ?" est moins une question de fond qu'une question de définition d'un nombre premier. Avec la définition aujourd'hui adoptée, comme tu le dis, 1 n'est pas premier. Cette définition a été choisie par commodité : elle permet l'énonciation simple du théorème fondamental de l'arithmétique : tout nombre naturel supérieur à 1 possède une unique décomposition en facteurs premiers. (Si on avait une définition qui rendait 1 premier, cette propriété serait très embêtante à reformuler.)

Mais la définition de nombre composé a aussi évolué : elle n'est plus la simple négation logique de celle d'un nombre premier, par conséquent les nombres naturels ne se classent plus dans deux boîtes (premier ou composé). Aujourd'hui, on définit un nombre composé comme étant un nombre naturel strictement positif qui admet au moins 2 diviseurs distincts inférieurs à lui-même. Par conséquent, 1 n'est pas composé. On peut alors énoncer le théorème de classification suivant : tout nombre naturel est soit premier, soit composé, soit égal à 0, soit égal à 1. Déclarer que 1 est "composé de zéro facteurs premiers" n'est pas une justification rigoureuse mais seulement un argument rhétorique qui tente de convaincre. (Tout comme dire que 20 est "le produit de zéro facteurs 2" : ce n'est qu'un argument donné en agitant les bras. La vraie justification est : 20=1 est une conséquence de la définition de la fonction 2n. Et PS : rigoureusement parlant, 2n n'est pas défini comme étant un produit de n facteurs 2... non, ce qu'on apprend à l'école n'est pas toujours mathématiquement rigoureux.)

En résumé, ton exemple ne fait qu'illustrer l'évolution des définitions, mais pas le fait que ce qui découle mathématiquement d'une définition donnée est bel et bien absolument fixé. Les propriétés des nombres ne changent pas quand on change la définition d'un nombre premier, seulement la façon de les énoncer.

Axolotl a écrit:Je crois (mais c’est juste du ouï-dire ) que cette démonstration de Wiles a ses partisans et détracteurs. Fort longue et compliquée, faisant appel à différentes notions toutes plus abstraites les unes que les autres des maths elle comporterait en son sein des conjectures elle-aussi. A vérifier.
La démonstration est complexe, certes, mais fait appel à des mathématiques issus de domaines bien connus. Depuis 1995, la démonstration est reconnue comme valide. Et même au cas où une erreur indétectée subsistait, cela ne changerait pas la valeur de vérité du théorème de Fermat, seulement notre connaissance de cette valeur.

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Re: Les mathématiques : science ou non ?

Message  Mal' le Lun 5 Mar 2018 - 17:41

Auguste le Maure a écrit:cependant pour les mathématiques on ne sait tout simplement pas de quoi ça parle ! De nombres ? des figures géométriques ? et même en répondant : un peu de toutes ces choses. le nombre n'est pas au même niveau d'intuition que le monde réel ou le vivant.
la question de ce qu'est un nombre est loin d'être chose donnée.
Si j'en crois AntiSubjectiviste depuis, l'objet de la mathématique, ce sont les structures formelles/les réseaux formels ; bref, des formes, des formules, des formulations. On verra bientôt que ça me pose sérieusement problème, car je ne crois pas que cela résolve quoique ce soit, sinon spéculativement pour rasséréner l'esprit impétueux.
Auguste le Maure a écrit:Ensuite, il y'a le problème de la méthode, les mathématiques traitent de sa propre méthode.
Oui, voilà, c'est exactement ce que je voulais dire, en fait, et qui me semble strictement rejoindre ton point précédent, de sorte à ce que je m'étonne que tu ne l'ais pas toi-même soulevé : l'objet de la mathématique, serait ... la méthode mathématique ... Seulement, on voit que cela coince, car la mathématique, comme mathématique, n'est pas métamathématique : elle form/ul/e des axiomes dont elle procède, axiomes qui sont eux-mêmes métalogiques. Il faut voir Schopenhauer, sur cette question épistémologique. Car je répète : si la mathématique a pour objet sa méthode, elle "s'a" pour objet, et elle devrait aboutir à une métamathématique. C'est-à-dire que son langage représentant, dirait AntiSubjectiviste, devrait passer au statut d'objet représenté par un langage différentiel (ce dont nous discutions concernant Alfred Tarski). Or tel n'est pas le cas, il n'y a pas passage d'un langage représentant au statut d'objet représenté, dans la mathématique seule ; pour cela, il faut faire de la métamathématique, comme c'est le cas de ce topic.
C'est pourquoi j'ai commencé par faire devant AntiSubjectiviste, le distinguo science-instrument, et le distinguo de la préexistence-existence de l'objet mathématique.
A moi, il me semble une génération spontanée et autotélique de la pensée devant les choses, où l'instrument s'instrumente, sans objet, en quoi je n'ignore pas le va-et-vient expérimental souligné par AntiSubjectiviste.
(cf. :
AntiSubjectiviste a écrit:Il faut juste ne pas penser que ça marche toujours dans un seul sens, du concept vers la réalité empirique : l'histoire montre que bien souvent, la réalité empirique nous inspire à formaliser des concepts mathématiques. Le va-et-vient entre concept, langage et réalité empirique est constant et inorganisé.
Bref.)
Auguste le Maure a écrit:J'imagine qu'on peut aisément résoudre ces "problèmes" en considérant que les mathématiques ne forment pas une science.
Ce que je viens exactement de faire.
Auguste le Maure a écrit:cependant on peut quand même lui donner un objet ! Les mathématiques sont le langage qui traite des langages parlant du monde.
je m'explique, la physique est un "langage (lire ici langage extension de science)" qui code le réel. le mathématiques est ainsi vu comme un "langage du second degré".
Prenons par exemple les nombres.
Image de Russel. "3 sheeps is an instance of 3, 3 is an instance of numbers, but 3 sheeps isn't an instance of numbers"
"trois moutons" est un exemple du nombre 3, et 3 est un exemple de nombre, mais trois moutons n'est pas un exemple de nombre.
les nombre sont donc une abstraction  du second degré, 2 est une abstraction des paires, 3 une abstractions des triplets , n une abstractions des n-uplets (pour les plus matheux), mais la notion de nombre est une abstraction de tout ces 1, 2,3... donc le nombre est une abstraction d'une abstraction de choses réelles.
En réalité, la question du nombre 3, secondaire ou pas, est déjà abstractisée, si on la considère du seul point de vue mathématique. En effet, dans le cas de la perception de trois moutons, il faut déjà que tu es appris ce qu'était un mouton, sachant que ton cerveau fonctionne paréidoliquement par reconnaissance, une fois devant le ou les moutons. Sur quoi, il y a invention métalogique du nombre 3, pour déterminer le compte des moutons. Puis seulement abstractisation du 3 pur, mathématiquement, encore que cette formation numérale soit disposible cognitivement - cf. le 3 dans l'inconscient collectif, chez C.G.Jung.
Mais enfin, cette formation méthodologique, comme je le disais, est une génération spontanée et autotélique de la pensée devant les choses, où l'instrument s'instrumente, sans objet, une fois mathématisé. D'ailleurs, un mathème, du grec matêma, matêmata, désigne la matière d'une discipline, au sens large ; un champ de connaissance avant tout. Aussi bien, la mathématique est-elle un distillat réflexif des logiques mises en œuvre pour connaître, et encore, des logiques les plus épurées, telles que le nombre, l'algèbre, la géométrie. Il y a processus de perfectisation, si par perfection l'on comprend bien étymologiquement une faction procédant d'elle-même, au-delà de toute faction. Or, de fait, il est impossible de "faire mieux" en terme d'épure ... jusqu'à nouvel ordre, mais enfin, une expérience mathématique millénaire nous dissuade de penser qu'on puisse encore parfaire la chose (le véritable progrès étant venu de René Descartes et ses formulations épuratrices !).
Auguste le Maure a écrit:Ainsi "les objets" des mathématiques sont les phrases avec lesquelles on décrit le monde.
Cela est proprement une non-réponse, puisque tu reviens sur ton histoire de méthode, précédemment, depuis laquelle j'ai parlé de l'instrumentisation de l'instrument, en génération spontanée et autotélique. Mais c'est aussi cela, qui est beau, avec les maths : spontanéité et autotélisme.
Au fond, je crois que la mathématique procède d'une ontologie spiritualiste, d'où les dérivés platoniciens.
Axolotl a écrit:Vous vous placez en premier je pense dans un cadre épistémologique: qu’est-ce qui permet de définir les maths comme science, et ensuite une question « ontologique » sur le media qu’elle utilise principalement, à savoir le langage mathématique. En découle la question de savoir si le langage mathématique est un langage comme les autres. De quelle nature est-il ou serait-il, avec comme conséquence quelles seraient sa ou ses spécificités pour le définir et le distinguer des autres ?
Oui.
Axolotl a écrit:Cette démarche semble reprendre une sorte de progression kantienne (pour ce que j’en connais) du pur (ou du formel encore que le pur et le formel soient différents) en direction ou vers le pratique (ou l’empirique, même remarque): du pur soit des fondements lesquels seraient quasiment ontologiques, vers l’expérimental et le pratique, avec à la clé l’analyse de sa praxis et des moyens mis en œuvre pour « effectuer » ou accomplir des mathématiques. L’acte mathématique a de toute évidence besoin d’un langage particulier et unique mais intelligible par tous (sa grande force!) pour s’exprimer: il est son langage et semble bien lui appartenir en propre. La meilleure preuve est que sans avoir fait des maths on reconnaît tout de suite -ou assez vite quand on en voit- qu’il s’agit bien d’un langage dit « mathématique ». Et non d’un autre type de langage. Indéniable avantage: c'est un langage universel, parlé de Hawaï à la Terre de Feu en passant par l'Arctique.
Ces remarques réfèrent directement à mon propos sur la perfectisation-épuration logique, opérée par la mathématique. On frôle la métalogique avec les maths, cela les rend excitante, mais aussi universalisables, en effet - peut-être sous le coup de l'inconscient collectif jungien déjà évoqué, d'ailleurs. En biologiste évolutionnaire du cerveau, jugerait qu'il y a racine ontogénétique.
En somme, on ne progresse pas, mais on régresse, quand on raisonne mathématiquement ! encore que la mathématique soit le fruit d'une élaboration (perfectisation-épuration métalogique).
Axolotl a écrit:Vous dites « la logique peut-être vu comme la mathématique des mathématiques, dans le sens où elle traite de du langage des mathématiques, sans oublier le langage qui étudie la logique, la logique de la logique ».

Je ne me sens pas qualifié de parler des rapports de Kant avec la métaphysique et les sciences, précisément mais il y aurait matière ici lorsque vous parlez de logique. Je pense que Kant avait très bien compris qu’il existait 2 types de logique, une que l’on pourrait qualifier de comportementale et propre à nos besoins d’êtres humains dotés de langage. Et l’autre complètement scientifique, et qui sert de vecteur pour la science afin de parler et d’énoncer des « vérités scientifiques ». Deux domaines épistémiques et d’application très différents. Kant regroupera  en 2 parties, logique pure et transcendantale sous un volume de « logique métaphysique », demeurant je crois encore aujourd’hui une partie assez discutée par les philosophes .  Le terme de logique scientifique -et en particulier mathématique- que vous employez à propos des maths a quant à lui a une longue et même très longue histoire, depuis l’invention du tiers exclu par Aristote.
HS !
Axolotl a écrit:Si vous dites qu'on peut considérer que les mathématiques ne forment pas une science vous prenez là un risque , même un très gros risque! Si je puis vous donner un conseil, ne répétez SURTOUT pas cette phrase devant des mathématiciens: vous risqueriez un procès en Inquisition pour sorcellerie et hérésie notoire ! Non je plaisante, mais quelque part il y a du vrai. Certains estiment que la science (LaScience pour paraphraser le LaLangue de Lacan) tend à devenir une religion avec ses propres tribunaux, ses condamnations, ses hérésies, ses bannissements, etc. Vu du côté des philosophes et d’une partie du public, certains estiment que la science sans la philosophie n’aurait pas d’éthique: elle en serait privée fatalement et  tout ce qui serait de l’ordre d’une considération morale ou éthique lui demeurerait forcément étrangère et inconnue. Qui peut trancher ? À l’inverse de ce qui peut se passer en philo où il n’y a pas de communauté philosophique à proprement parler, il y a bien une communauté scientifique: une sorte de tribunal suprême fonctionnant à partir du consensuel et qui a pour rôle d’amener à définir ce que serait une vérité objective dans une science considérée. Afin d’estimer au passage qu’une théorie, une découverte ou une loi par exemple est valide, scientifique ou au contraire invalide, dépassée, fausse, non scientifique etc.
D'accord, mais cela est de tradition, de convention, finalement et de dégénération épistémiques, rapport à la sociologie des sciences, science studies, qui ont long à nous en dire pour démanteler la "lascience", dans l'esprit des chercheurs-mêmes !
AntiSubjectiviste a écrit:en considérant que les mathématiques sont une activité humaine,
L'activité métalogique de perfectisation-épuration métalogique d'un instrument s'instrumentant, régressif rapport à l'évolutionnisme cervical ?
AntiSubjectiviste a écrit:Maintenant si l'on parle de ce que produisent les mathématiciens, à savoir les théories mathématiques, chacune étant un système axiomatico-déductif portant sur des objets conceptuels spécifiques (en fait, des structures), alors je dirais globalement que les théories mathématiques ont une double nature :
Oui, mais ces structures formelles/réseaux formels, sont précisément la méthode par laquelle la mathématique mathématise, c'est-à-dire se formule ! aussi, "un système axiomatico-déductif" (structure/réseau formel/le) est-il instrumentalement posé par la mathématique, pour mathématiquement servir d'instrument pour d'autres opérations. Il y a proprement machination mathématique, un peu comme le docteur Manhattan, dans Watchmen, invente un mécanisme pur sur Mars :

Ceci n'est qu'une image.
AntiSubjectiviste a écrit:1. elles sont un langage pour "décrire" des structures (la théorie des nombres naturels décrit la structure des... nombres naturels),
2. les énoncés qu'elles contiennent (axiomes, théorèmes) sont liés déductivement entre eux de façon à former eux-mêmes une structure; cette dernière est par ailleurs l'objet décrit par d'autres théories mathématiques. (Par exemple, les énoncés de la théorie des nombres naturels forment une algèbre booléenne, celle-ci étant une structure étudiée par la théorie des... algèbres booléennes. On a donc des théories qui étudient la structure des énoncés d'une autre théorie.)
Et ce disant, tu t'enferres dans l'instrument s'instrumentisant, ou la méthode mathématique traitant d'elle-même (chez Auguste le Maure) alors qu'elle ne débouche sur aucune métamathématique pourtant, en dehors des métamathématiciens - tels que nous ici improvisés, où nous voyons bien qu'on ne mathématise plus médite épistémologiquement la mathématique.
AntiSubjectiviste a écrit:On voit donc que les mathématiques, comme la philosophie d'ailleurs, a cette capacité à étudier des objets en même temps qu'elle peut prendre ses propres modes de descriptions comme objet d'étude. Autrement dit, elles sont épistémiquement réflexives.

Une conséquence est qu'en mathématiques, il n'y a pas de distinction absolue de nature entre un objet d'étude et un langage descriptif : tout langage descriptif peut lui-même être l'objet d'étude d'une autre théorie. Cette frontière brouillée rend difficile, par exemple, une défense rigoureuse du platonisme qui suppose une dichotomie entre objet-représenté et langage-représentant : en effet, l'idée réaliste usuelle qu'un objet préexiste à sa description et que le langage est créé par le sujet, ne tient plus.
Sur quoi tu fais donc erreur, puisqu'il n'y a pas métamathématique alors, mais uniquement déploiement mathématique. De même, cette prétendue réflexivité tend ... asymptotiquement ... vers un impossible : la perfectisation-épuration métalogique de l'instrument s'instrumentalisant.

Mais juste une seconde, sur cette auto-instrumentalisation de la mathématique par elle-même : tous les bricoleurs savent de quoi il s'agit qui, dans leurs ateliers, se débrouillent précisément avec les matières à disposition. Le menuisier travaille avec un marteau fait de bois et de métal, sur du bois et du métal, quand il plante un clou, etc. C'est la même essence qui (se) travaille (elle-même), qui travaille sur elle-même.

La mathématique est la quintessence du "travail sur soi", encore qu'elle ne dise plus grand'chose d'évident, à son degré métalogique de perfectisation-épuration, depuis une donne régressive. A la fois la plus haute, et la plus basse activité de l'esprit.
AntiSubjectiviste a écrit:Ma position est que cette dichotomie science/instrument est trop simpliste pour s'appliquer aux maths. Elles sont une science parce qu'elles ont un objet d'étude global (les structures formelles), mais elles sont aussi un instrument pour d'autres disciplines (voire pour elles-mêmes) car le caractère formel des structures les prédispose à leur utilisation pour modéliser/interpréter divers phénomènes.
Ma position est que tu ne sais pas ce que tu dis, à ce stade de ma réflexion, ô esprit impétueux.
AntiSubjectiviste a écrit:Comme je ne suis pas réaliste vis-à-vis des maths, ma position personnelle est celle-ci : les objets mathématiques sont nos créations conceptuello-linguistiques et nous les projetons sur le monde (même si le terme "projection" ne me convient guère, je parle plutôt d'"interprétation", mais c'est une autre question).
Oui, je peux m'entendre avec toi sur l'interprétation. Mais j'ai alors un casse-tête à te soumettre : dans la mesure où nos cerveaux sont parties du réel, et qu'ils génèrent l'interprétation, l'interprétation n'est-elle pas aussi réelle que l'interprété grâce à l'interprète, aussi inadéquate soit-elle ? ... Cela est spinozien dans la démarche.
Au reste, si tu n'es pas réaliste, qu'est-tu donc, à la fin ?
Axolotl a écrit:La question de la validité telle qu'elle se pose est la suivante: une "vérité mathématique" avant qu'on lui attribue ce terme la qualifiant de "vraie" pour vraiment l'authentifier comme telle doit obtenir le consensus de la communauté scientifique, donc de la communauté mathématique dans le cas qui nous préoccupe. SI elle l'obtient elle deviendra non plus une hypothèse mais une "vérité objective". Mais c'est quoi une "vérité objective" ? C'est ce qui sera écrit pour être publié, qu'on retrouvera dans les livres et qui sera enseigné, soit aux lycéens, étudiants, livre dont les chercheurs se serviront  comme ouvrage de référence.
Tu fais de la sociologie des sciences, science studies, comme j'en parlais plus haut.
Axolotl a écrit:Une "vérité mathématique" ne reçoit pas automatiquement le qualificatif de valide: tout dépend de ce qu'on entend par vérité mathématique. Un axiome n'est ni vrai, ni valide pourtant on pourrait le qualifier de "vérité mathématique": un axiome c'est un axiome à partir duquel on construira une ou des mathématiques, et on inventera des théorèmes qui en seront issus mais ils doivent être impérativement démontrés par les règles de la logique pour être "valides" ou validés.
C'est le métalogique donc je parlais.
Axolotl a écrit:Par contre une démonstration doit être impérativement être validée pour être admis (c-a-d que les autres mathématiciens reconnaissent une démonstration dans laquelle il n'y a pas d'erreur) mais un théorème peut être valide sans avoir été démontré. Exemple: le théorème de Fermat.
Ce mathématicien a écrit un théorème très important en algèbre et il a marqué dans la marge de son livre "je donnerai la démonstration plus tard". Or on n'a jamais retrouvé cette démonstration, des siècles après on cherche encore. Pourtant on sait que ce théorème est valide, au sens où l'on n'a jamais pu trouver de contre-exemple pour l'infirmer.
C'est qu'il y a une prégnance empirique de ses applications, indéniable et inéluctable.
Axolotl a écrit:Voilà. J'espère avoir été clair. Et pu vous aider.
Je vous recommande pour les maths un livre déjà ancien qui s'appelle "Idéalités mathématiques" de Desanti (68). La question qu'il se pose et nous pose est "quel est ce lieu où résident les mathématiques?". Il s'agira d'une approche strictement formaliste des maths, non platonicienne et Desanti essaiera de dégager des "idéalités" et des "objets" lesquels sont immanents au langage et à la pratique des maths. Gödel et la mathématicien français réputé Alain Connes étaient ou sont platoniciens. Mais la majorité des mathématiciens croient au formalisme et uniquement à cela. La question d'une Essence du nombre naturel puis rationnel, irrationnel, transcendant, imaginaires et tous les autres qui ont suivi ne se pose pas pour eux.
Pour paraphraser Leibniz qui disait que la pensée c'est du calcul sur des symboles, les formalistes estiment que les maths c'est du calcul sur des symboles, ou sur des signes si l'on veut. On ne cherche pas d'Essence ou d'Idées derrière une représentation. A la limite la représentation qu'est le signe ou symbole mathématique serait sa propre essence, ou coïnciderait avec elle si on envisageait une Essence derrière, ce que refusent par principe les formalistes. Rien de plus.
Merci pour les références ! super.
AntiSubjectiviste a écrit:Il y a une différence entre être une vérité, et être reconnu comme une vérité. S'il faut la reconnaissance communautaire pour le second, il n'en faut pas pour le premier : on acceptera ainsi qu'un énoncé mathématique donné est, indépendamment de la communauté, soit vrai, soit faux, soit indécidable.
C'est-à-dire en fait, au plan de l'interprétation, cohérent, à défaut d'être prégnant comme le théorème de Fermat. Néanmoins, la prégnance n'est pas un critère, du moment que c'est "aximoatico-déductivement" bon.
AntiSubjectiviste a écrit:Cette définition sociale de l'objectivité ne convient guère aux mathématiques; je dirais plutôt qu'un énoncé est une vérité objective si, une fois les significations de ses termes explicités, sa vérité s'impose inconditionnellement.
... en dehors de ses conditions "axiomatico-déductives" de possibilité !

Mais en fond, sur ces deux derniers points, tu étais au clair, mais je ne comprends pas pourquoi cela vient si tard, dans un sens :
AntiSubjectiviste a écrit:Bien sûr et, en mathématiques, pour un énoncé donné, "être vrai" est essentiellement synonyme de "être démontrable dans le système axiomatique qui le contient". En ces termes, un axiome est strictement vrai dans son système.
Ensuite :
AntiSubjectiviste a écrit:OK, mais c'est là utiliser le mot "valide" dans un sens détourné. Peu de mathématiciens diraient qu'une conjecture non réfutée est "valide", il dira juste que c'est une conjecture. PS : le théorème de Fermat a été démontré par Wiles en 1994, il a donc été reconnu comme vrai. Avant cette date, il était toujours une conjecture (en fait vraie, mais on ne le savait pas encore).
Il faut le savoir. Plus haut, j'ai parlé de prégnance plutôt.
AntiSubjectiviste a écrit:J'en doute fort. La majorité des mathématiciens ignorent ce qu'est le formalisme et ne s'intéressent pas vraiment aux questions d'épistémologie des maths. Je dirais plutôt que la majorité des mathématiciens "au travail" ont une posture réaliste naïve : ils traitent les objets mathématiques comme préexistants (au sens naïf), les théories comme leur description et les démonstrations comme des instruments déductifs permettant d'"observer" des faits mathématiques.
Et, comme pour le bricoleur dans son atelier, cela suffit.

...

Les deux derniers posts me semblent HS, dérivatifs, portant moins sur la question initiale de topic en titre, que sur d'autres questions mathématiques ici dilettantes, quoiqu'intéressantes. Je découperai peut-être bientôt pour en faire un nouveau topic.
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Re: Les mathématiques : science ou non ?

Message  AntiSubjectiviste le Lun 5 Mar 2018 - 20:54

Mal' a écrit:Si j'en crois AntiSubjectiviste depuis, l'objet de la mathématique, ce sont les structures formelles/les réseaux formels ; bref, des formes, des formules, des formulations. On verra bientôt que ça me pose sérieusement problème, car je ne crois pas que cela résolve quoique ce soit, sinon spéculativement pour rasséréner l'esprit impétueux.
Encore faut-il comprendre cette notion de structure mathématique, ce qui constitue une question profonde et très contemporaine de la philosophie des mathématiques. Par exemple, en quoi le concept du nombre 3 est-il relationnel/structurel ? Saisir ça est un point de départ, et c'est loin d'être évident (cf. toutes les recherches sur le structuralisme mathématique).

Mal' a écrit:Seulement, on voit que cela coince, car la mathématique, comme mathématique, n'est pas métamathématique : elle form/ul/e des axiomes dont elle procède, axiomes qui sont eux-mêmes métalogiques. Il faut voir Schopenhauer, sur cette question épistémologique. Car je répète : si la mathématique a pour objet sa méthode, elle "s'a" pour objet, et elle devrait aboutir à une métamathématique. C'est-à-dire que son langage représentant, dirait AntiSubjectiviste, devrait passer au statut d'objet représenté par un langage différentiel (ce dont nous discutions concernant Alfred Tarski). Or tel n'est pas le cas, il n'y a pas passage d'un langage représentant au statut d'objet représenté, dans la mathématique seule ; pour cela, il faut faire de la métamathématique, comme c'est le cas de ce topic.
Ce que tu penses ne pas être le cas, est en réalité le cas. Une partie essentielle de la métamathématique est de fait mathématique : les travaux de Gödel en constituent l'exemple le plus réputé : il y est question d'évaluer, et de façon strictement mathématique (et même arithmétique), la portée et l'efficacité de la méthode axiomatico-déductive pour atteindre les vérités énonçables par n'importe quelle théorie mathématique. Et cet exemple n'est qu'un point de départ pour tout un domaine qui n'a pas cessé de se développer jusqu'à présent. La méthode axiomatico-déductive elle-même a été formalisée (calcul des séquents, déduction naturelle, théorie des modèles, etc.) de façon à rendre possible des variantes de l'opération de déduction (il existe ainsi différentes sortes de déductions et d'implications logiques : matérielle, relevante, linéaire, paraconsistante, paracomplète, etc.).

Tu ne réalises tout simplement pas ce dont toutes ces choses relèvent. Je cite comme exemple l'ouvrage de référence Introduction to Metamathematics de Kleene, que tous les chercheurs s'intéressant à la question ont lu, et qui est paru en... 1962. D'un côté, cela fait déjà plus de 50 ans que ça existe, et de l'autre, c'est si récent que c'est entièrement inconcevable pour Schopenhauer...



Mal' a écrit:Ma position est que tu ne sais pas ce que tu dis, à ce stade de ma réflexion, ô esprit impétueux.
Je ne donne, sur les mathématiques, que mon avis personnel de mathématicien-philosophe, tout comme tu donnes dessus ton avis de psy :-)

Mal' a écrit:Au reste, si tu n'es pas réaliste, qu'est-tu donc, à la fin ?
Y a pas de "-isme" standard qui décrit ma position. Actuellement, je penche vers un mélange de structuralisme-conceptualisme-formalisme-intuitionnisme-wittgensteinisme. Mais je suis explicitement anti-réaliste : je nie l'existence ontologique d'une réalité mathématique platonicienne atemporelle et a-spatiale. Par contre, je reste objectiviste : la vérité d'un théorème est transculturelle et transsubjective.

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Re: Les mathématiques : science ou non ?

Message  Mal' le Lun 5 Mar 2018 - 21:43

Merci pour la "clarification" de ta position ! Cela éclaire, même si c'est vague. Du moins "mon côté psy" y subsume quelque chose d'intéressant ! ... Pour le reste, eh bien il est évident que je me reconnais pour out of order, même si j'aurais tellement envie de spéculer sur cette métamathématique qui mathématise, car je ne veux pas m'avouer vaincu, et que je veux défendre mon idée jusqu'à ce que mort s'ensuive - si mort doit s'ensuivre. Mais, pour cela, il me faudrait prendre la mesure de cette culture.

La parole à Auguste le Maure ?
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